Задача. Определить показатели надежности неремонтируемого объекта.
Условие задачи. По результатам испытаний заданного числа N образцов однотипных приводных клиновых ремней определить их показатели надежности. Результатами испытаний (исходными данными задачи) являются:
- интервалы значений наработки до первого отказа Т1 ,час.;
- значения частот mi отказов ремней по i-ым частичным интервалам наработки T1i .
При выполнении задачи требуется:
1. Проанализировать условия задания и составить по ним интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки .
2. Построить гистограмму и полигон эмпирического распределения наработки .
3. Подсчитать среднее арифметическое значение выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для заданной статистической выборки, подобрать теоретический закон распределения наработки до первого отказа.
4. Определить статистические оценки вероятности безотказной работы и интенсивности отказов клиновых ремней для i-x частичных интервалов наработки до первого отказа.
5. Построить графики изменения и эмпирической интегральной функции по данным испытаний клиновых, ремней.
6. Определить значения теоретической интегральной функции для заданных частичных интервалов значений наработки , построить график функции .
7. Проверить соответствие между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки по критерию , (А. Н. Колмогорова).
8. Определить доверительные границы средней наработки клиновых ремней до первого отказа при доверительной, вероятности = 0,90.
Методика выполнения задачи.
В задаче требуется определить числовые значения показателей безотказности приводных клиновых ремней по результатам испытаний 40 однотипных образцов. Клиновые ремни — неремонтируемые изделия, основными показателями их надежности являются (см.. [1], гл. 3) вероятность безотказной работы , средняя наработка до первого отказа интенсивность отказов .
Числовые значения показателей надежности определяют по результатам наблюдений за испытаниями однотипных изделий в заданных условиях, фиксируя наработку отдельных изделий до первого отказа в часах работы под нагрузкой. Результаты испытаний представляют в виде интервального статистического ряда распределения наработки изделий до первого отказа.
Методику определения показателей безотказности рассмотрим на примере выполнения следующего задания: частичные интервалы значений наработки — по варианту 11 из приложения 1, а значения частот отказов ремней по i-м частичным интервалам — по варианту 6 из приложения 2 к данным методическим указаниям. Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки для заданных условий приведен в таблице 1. В этой же таблице указаны значения частостей и накопленных частостей по отдельным i-м интервалам. Сумма частот по всем интервалам должна быть равна (т. е. 40), а сумма накопленных частостей =1.
Таблица 1
Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки клиновых ремней до первого отказа
Границы частичных интервалов, ч |
0...150 |
150…300 |
300…450 |
450...600 |
600…750 |
750...900 |
Середины интервалов, ч |
75 |
225 |
375 |
525 |
675 |
825 |
Частоты mi |
1 |
4 |
14 |
17 |
3 |
1 |
Частости |
0,025 |
0,100 |
0,350 |
0,425 |
0,075 |
0,025 |
Накопленные частости |
0,025 |
0,125 |
0,475 |
0,900 |
0,975 |
1,000 |
Данные из таблицы 1 используются для построения графиков, наглядно характеризующих эмпирическое распределение случайной величины,— гистограммы и полигона.
При построении гистограммы на горизонтальной оси графика откладывают значения, соответствующие границам частичных интервалов, а на вертикальной — частоты или частости, также по отдельным интервалам. Далее строят прямоугольники, основания которых лежат на горизонтальной оси координат и равны величине частичных интервалов, а высоты равны частотам или частостям соответствующих интервалов. В результате получается ступенчатый многоугольник, или гистограмма.
Если теперь соединить прямыми линиями середины верхних (горизонтальных) сторон прямоугольников гистограммы, то получим полигон распределения в виде ломаной линии.
Примеры построения гистограммы и полигона распределения наработки клиновых ремней до первого отказа приведены на рис. 1. По гистограмме и полигону распределения можно заключить, что наиболее вероятная наработка клиновых ремней до первого отказа находится в интервале значений от 300 до 600 ч.
Рис. 1. Гистограмма и полигон эмпирического распределения наработки клиновых приводных ремней до первого отказа.
Числовые значения статистических характеристик распределения случайной величины, таких, как среднее арифметическое значение выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации (см. [1], гл. 3), подсчитываются по следующим уравнениям с суммированием по частичным интервалам:
Результаты подсчетов для рассматриваемого примерного задания:
75×0,025+225×0,1+375×0,35+525×0,425+675×0,075+825×0,025=450 ч;
.
Безразмерный коэффициент вариации используется не только как относительная характеристика степени рассеивания случайной величины относительно среднего значения, но и для ориентировочного выбора теоретического закона распределения (ТЗР) случайной величины. Применительно к рассматриваемому заданию при выбирается нормальный закон распределения, а при — закон распределения Вейбулла. Поскольку в примере значение , примем для дальнейших расчетов нормальный закон распределения наработки клиновых ремней до первого отказа. Этот ориентировочный вывод будет в дальнейшем проверяться с применением критерия согласия , (А. Н. Колмогорова).
Статистические оценки вероятности безотказной работы и интенсивности отказов клиновых ремней для i-x частичных интервалов подсчитываются по следующим уравнениям:
,
,
где — число изделий в начале испытаний (в рассматриваемом задании =40); — число отказавших изделий к концу 1-го интервала;
— значение наработки в частичном интервале (в примере =150 ч);
— число работоспособных изделий к началу i-го частичного интервала.
Исходные данные для подсчетов и их результаты сводятся в таблицу — см. табл. 2 применительно к рассматриваемому примеру.
Определение статистических оценок и
Показатели |
Значения показателей по частичным интервалам • |
|||||
0...150 |
150..300 |
|
.450.. 600 |
|
|
|
Число отказов за интервал, |
1 |
4 |
14 |
17 |
3 |
1 |
Число отказавших изделий к концу интервала, |
1 |
5 |
19 |
36 |
39 |
40 |
Число работоспособных изделий к началу интервала, |
40 |
39 |
35 |
21 |
4 |
1 |
Статистическая оценка |
0,975 |
0,875 |
0,525 |
0,100 |
0,025 |
0 |
Статистическая оценка |
0,0002 |
0,0007 |
0,0027 |
0,0054 |
0,0050 |
0,0067 |
5. Графики изменения опытной вероятности безотказной работы и эмпирической интегральной функции строятся с использованием соответствующих значений для частичных интервалов из табл. 1 и 2. Пример построения графиков показан на рис. 2. Между обоими показателями надежности существует взаимосвязь, обусловленная уравнением .
6. Интегральная функция распределения F(t) является наиболее общей характеристикой распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Она определяет вероятность того события, что случайная величина будет меньше или равна наперед заданному значению. Интегральная функция распределения F(t) может быть задана аналитически или представлена в виде графика (см. [1], гл. 3).
Значения теоретической интегральной функции для нормального распределения с известными параметрами и (см. [1], с. 97 ... 99) определяются по табличному интегралу Ф(t), который непосредственно показывает вероятность того события, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t. Значения функции F(t) в конце i-го частичного интервала принимаются равными значению интеграла Ф(t) по табл. 1 из приложения к [1]. Применительно к рассматриваемому заданию
,
где —верхняя граница i-го частичного интервала значений наработки клиновых ремней до первого отказа;
= 450 ч и =142,3 ч.
Например, верхняя граница i-го частичного интервала ТВ1 =150 ч.
Тогда и по таблице 1 из приложения к [1]
Ф (-2,11)=0,0175-0,018. Следовательно, значение теоретической интегральной функции F(t) в конце первого частичного интервала равно 0,018. Аналогично определяют значения F(t) для других частичных интервалов, записывают их в табл. 3 и наносят найденные значения на рис. 2, получая график теоретической интегральной функции распределения F(t).
7. Проверку соответствия между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки клиновых ремней до первого отказа можно провести с использованием одного из критериев согласия (см. [1], гл. 3), подтверждающего или опровергающего статистическую гипотезу о виде выбранного теоретического закона распределения с принятым уровнем значимости а. Обычно в технических расчетах принимают а равным 0,10, т. е. допускают тем самым в 10 случаях из 100 возможность ошибки первого рода, связанной с риском отбросить правильную статистическую гипотезу.
Таблица 3
Проверка соответствия эмпирического и теоретического распределений наработки клиновых ремней до первого отказа по критерию .
Границы частичных интервалов, ч |
0...150 |
150.. 300 |
300.. 450 |
450..600 |
600.. 750 |
750..900 |
Верхняя граница интервала, ТВi , ч |
150 |
300 |
450 |
600 |
750 |
900 |
-2.11 |
-1,05 |
0 |
1,05 |
2,11 |
3,16 |
|
0,018 |
0,147 |
0,500 |
0,853 |
0,982 |
0,999 |
|
0,025 |
0,125 |
0,475 |
0,900 |
0,975 |
1,000 |
|
0,007 |
0,022 |
0,025 |
0,047 |
0,007 |
0,001 |
Применительно к рассматриваемому заданию рекомендуется проводить проверку соответствия теоретического и эмпирического распределений по критерию согласия (А. Н. Колмогорова). Для этого по табл. 3 определяют максимальное абсолютное значение разности Dmax между эмпирической и теоретической интегральными функциями распределения для отдельных i-x частичных интервалов, т. е. -
Как следует из табл. 3, Dmax= 0,047, тогда расчетное значение критерия согласия =0,047=0,297. Для =0,297 по табл. 5 из приложения к [1] находим значение = 1,0. Поскольку значение больше принятого уровня значимости =0,10, то принятая гипотеза о применимости закона нормального распределения к эмпирическому распределению наработки клиновых ремней до первого отказа не отвергается. Тем самым можно говорить о соответствии теоретического и эмпирического распределений.
8. Интервальная оценка средней наработки клиновых ремней до первого отказа в отличие от точечной оценки (путем подсчета среднего арифметического значения) позволяет получить результат с наперед заданной достоверностью, или доверительной вероятностью , которую в практических расчетах принимают равной 0,8 или 0,9. По ГОСТ 11.004—74 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения, нижняя и верхняя границы доверительного интервала для средней наработки определяются по уравнениям:
где – квантиль распределения t (коэффициент Стьюдента) с степенями свободы для статистической выборки из n значений.
Для =0,9 и = 40 квантиль =0,206.
Тогда в рассматриваемом нами примере
=450-0.206×142,3 = 421,7 ч;
=450 + 0,206×142,3 = 479,3 ч.
Таким образом, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что значение средней наработки клиновых ремней до первого отказа будет находиться в интервале от 421,7 до 479,3 ч.