Задачи
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.00 (1 Голос)

Задача. Определить показатели надежности неремонтируемого объекта.

Условие задачи. По результатам испытаний заданного числа N образцов однотипных приводных клиновых ремней определить их показатели надежности. Результатами испытаний (исходными данными задачи) являются:

- интервалы значений наработки до первого отказа Т1 ,час.;

- значения частот mi отказов ремней по i-ым частичным интервалам наработки T1i .

При выполнении задачи требуется:

1. Проанализировать условия задания и составить по ним интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки image001_49_df43c8b16f4c1912ae84545fd131f3ba Определение показателей надежности неремонтируемого объекта.

2. Построить гистограмму и полигон эмпирического распределения наработки image002_53_a5e995af89e62dcd89982ca6cb52416c Определение показателей надежности неремонтируемого объекта.

3. Подсчитать среднее арифметическое значение image003_52_9fdd60b184573f4a17477a0f1fcf37c1 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта выборочное среднее квадратическое отклонение image004_48_df05b2e300fbcc506a5677270d597645 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и коэффициент вариации image005_48_9d02ae7641a635fb77feb999a39439db Определение показателей надежности неремонтируемого объекта для заданной статистической выборки, подобрать теоретический закон распределения наработки до первого отказа.

4. Определить статистические оценки вероятности безотказной работы image006_48_c02e6e116ffea4e138d5ad1e3b86b746 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и интенсивности отказов image007_52_1b02f198aa9679ef1d279b5cd238aa3f Определение показателей надежности неремонтируемого объекта клиновых ремней для i-x частичных интервалов наработки до первого отказа.

5. Построить графики изменения image008_52_51f9e100da834bd260d6d16b47acfd14 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и эмпирической интегральной функции image009_47_53fb10334cf72e259045048f45dc574d Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по данным испытаний клиновых, ремней.

6. Определить значения теоретической интегральной функции image010_48_c3890b682ff07767e09ca9cd55476c31 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта для заданных частичных интервалов значений наработки image011_51_9a917a7e87ca6d31f219c85b3f4fac25 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта, построить график функции image012_50_91a214ca3228d40fc33e1d766141ca4c Определение показателей надежности неремонтируемого объекта.

7. Проверить соответствие между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки image013_49_94105c1e803cb492b2a15b7a158206d4 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по критерию image014_49_bedcf9a0631ff0177f1a46f0f048046a Определение показателей надежности неремонтируемого объекта, (А. Н. Колмогорова).

8. Определить доверительные границы средней наработки клиновых ремней до первого отказа при доверительной, вероятности image015_50_deaf0cccb9a6295129e4370566895d5a Определение показателей надежности неремонтируемого объекта= 0,90.

Методика выполнения задачи.

В задаче требуется определить числовые значения показателей безотказности приводных клиновых ремней по результатам испытаний 40 однотипных образцов. Клиновые ремни — неремонтируемые изделия, основными показателями их надежности являются (см.. [1], гл. 3) вероятность безотказной работы image016_50 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта, средняя наработка до первого отказа image013_49_94105c1e803cb492b2a15b7a158206d4 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта интенсивность отказов image017_45_c0a09e54a5f4bdc24461725043ee0987 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта.

Числовые значения показателей надежности определяют по результатам наблюдений за испытаниями image018_44 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта однотипных изделий в заданных условиях, фиксируя наработку отдельных изделий до первого отказа в часах работы под нагрузкой. Результаты испытаний представляют в виде интервального статистического ряда распределения наработки изделий до первого отказа.

Методику определения показателей безотказности рассмотрим на примере выполнения следующего задания: частичные интервалы значений наработки image019_42_80d78464a7ffa81447d028987d82bf6d Определение показателей надежности неремонтируемого объекта — по варианту 11 из приложения 1, а значения частот image020_42_9c123a5b78d6ff8ce56ed71c9c486499 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта отказов ремней по i-м частичным интервалам — по варианту 6 из приложения 2 к данным методическим указаниям. Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки image021_41_61819ebec9bb494455052db96fdbb7fd Определение показателей надежности неремонтируемого объекта для заданных условий приведен в таблице 1. В этой же таблице указаны значения частостей image022_40 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и накопленных частостей image023_41_870ae605c4ff6ad2721a50e6106947b7 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по отдельным i-м интервалам. Сумма частот image024_39_eb3405a8dcaeca0d7f86e0a1e7fb2ecb Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по всем интервалам должна быть равна image025_36_7c9e5ae8af903f5df307f9d615feb721 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта (т. е. 40), а сумма накопленных частостей image023_41_870ae605c4ff6ad2721a50e6106947b7 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=1.

Таблица 1

Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки клиновых ремней до первого отказа

Границы частичных интервалов, ч

0...150

150…300

300…450

450...600

600…750

750...900

Середины интерваловimage026_36_a0b1d23d9a0d65c700a28d185605142e Определение показателей надежности неремонтируемого объекта, ч

75

225

375

525

675

825

Частоты mi

1

4

14

17

3

1

Частости image027_36_f7223d529053143fc5895444bdb3e78b Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

0,025

0,100

0,350

0,425

0,075

0,025

Накопленные частости

image028_33_5a6b787d676072b9c615983aeb2244ab Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

0,025

0,125

0,475

0,900

0,975

1,000

Данные из таблицы 1 используются для построения графиков, наглядно характеризующих эмпирическое распределение случайной величины,— гистограммы и полигона.

При построении гистограммы на горизонтальной оси графика откладывают значения, соответствующие границам частичных интервалов, а на вертикальной — частоты или частости, также по отдельным интервалам. Далее строят прямоугольники, основания которых лежат на горизонтальной оси координат и равны величине частичных интервалов, а высоты равны частотам или частостям соответствующих интервалов. В результате получается ступенчатый многоугольник, или гистограмма.

Если теперь соединить прямыми линиями середины верхних (горизонтальных) сторон прямоугольников гистограммы, то получим полигон распределения в виде ломаной линии.

Примеры построения гистограммы и полигона распределения наработки клиновых ремней до первого отказа приведены на рис. 1. По гистограмме и полигону распределения можно заключить, что наиболее вероятная наработка клиновых ремней до первого отказа находится в интервале значений от 300 до 600 ч.

 

Гистограмма и полигон эмпирического распределения наработки клиновых приводных ремней до первого отказа

 

Рис. 1. Гистограмма и полигон эмпирического распределения наработки клиновых приводных ремней до первого отказа.

Числовые значения статистических характеристик распределения случайной величины, таких, как среднее арифметическое значение image030_33_250431d5b1d28de2cb6889da23335ef0 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта выборочное среднее квадратическое отклонение image031_33_ef17f2a83c79bd9d1d8c5810d9c47751 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и коэффициент вариации image032_33_e16d67ef8bc687640b83fb9126fccf06 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта (см. [1], гл. 3), подсчитываются по следующим уравнениям с суммированием по частичным интервалам:

image033_32 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

image034_31 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

image035_30_1e8159282a4a5fb1bcec8cf0cf5365da Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

Результаты подсчетов для рассматриваемого примерного задания:

image036_30 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта75×0,025+225×0,1+375×0,35+525×0,425+675×0,075+825×0,025=450 ч;

image037_29 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

image038_29 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта.

Безразмерный коэффициент вариации image039_28 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта используется не только как относительная характеристика степени рассеивания случайной величины относительно среднего значения, но и для ориентировочного выбора теоретического закона распределения (ТЗР) случайной величины. Применительно к рассматриваемому заданию при image040_27 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта выбирается нормальный закон распределения, а при image041_23_4f1d1e878a695a715272073949aaa6b2 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта— закон распределения Вейбулла. Поскольку в примере значение image042_23 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта, примем для дальнейших расчетов нормальный закон распределения наработки клиновых ремней до первого отказа. Этот ориентировочный вывод будет в дальнейшем проверяться с применением критерия согласия image043_23 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта, (А. Н. Колмогорова).

Статистические оценки вероятности безотказной работы image044_22_d66adb4d15bb41ca2ddecf1016ac52ff Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и интенсивности отказов image045_22 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта клиновых ремней для i-x частичных интервалов подсчитываются по следующим уравнениям:

image046_22 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта,

image047_22 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта,

где image048_22 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта — число изделий в начале испытаний (в рассматриваемом задании image049_21 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=40); image050_19 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта — число отказавших изделий к концу 1-го интервала;

image051_20 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта — значение наработки в частичном интервале (в примере image052_18 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта =150 ч);

image053_16 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта— число работоспособных изделий к началу i-го частичного интервала.

Исходные данные для подсчетов и их результаты сводятся в таблицу — см. табл. 2 применительно к рассматриваемому примеру.

Определение статистических оценок image054_16 Определение показателей надежности неремонтируемого объектаи image055_17 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

 

Показатели

Значения показателей по частичным интервалам •

0...150

150..300

  1. .450

.450.. 600

  1. .750
  1. .900

Число отказов за интервал, image056_16 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

1

4

14

17

3

1

Число отказавших изделий к концу интервала, image057_17 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

1

5

19

36

39

40

Число работоспособных изделий к началу интервала, image058_14 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

40

39

35

21

4

1

Статистическая оценка image059_13 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

0,975

0,875

0,525

0,100

0,025

0

Статистическая оценка image060_12 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

0,0002

0,0007

0,0027

0,0054

0,0050

0,0067

 

5. Графики изменения опытной вероятности безотказной работы image062_12 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и эмпирической интегральной функции image063_13 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта строятся с использованием соответствующих значений для частичных интервалов из табл. 1 и 2. Пример построения графиков показан на рис. 2. Между обоими показателями надежности существует взаимосвязь, обусловленная уравнением image064_13 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта.

6. Интегральная функция распределения F(t) является наиболее общей характеристикой распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Она определяет вероятность того события, что случайная величина будет меньше или равна наперед заданному значению. Интегральная функция распределения F(t) может быть задана аналитически или представлена в виде графика (см. [1], гл. 3).

Значения теоретической интегральной функции image065_13 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта для нормального распределения с известными параметрами image066_12 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и image067_12 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта (см. [1], с. 97 ... 99) определяются по табличному интегралу Ф(t), который непосредственно показывает вероятность того события, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t. Значения функции F(t) в конце i-го частичного интервала принимаются равными значению интеграла Ф(t) по табл. 1 из приложения к [1]. Применительно к рассматриваемому заданию

image068_11 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта,

где image069_11 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта —верхняя граница i-го частичного интервала значений наработки клиновых ремней до первого отказа;

image001_49_df43c8b16f4c1912ae84545fd131f3ba Определение показателей надежности неремонтируемого объекта = 450 ч и image070_11 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=142,3 ч.

Например, верхняя граница i-го частичного интервала ТВ1 =150 ч.

Тогда image071_10 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и по таблице 1 из приложения к [1]

Ф (-2,11)=0,0175-0,018. Следовательно, значение теоретической интегральной функции F(t) в конце первого частичного интервала равно 0,018. Аналогично определяют значения F(t) для других частичных интервалов, записывают их в табл. 3 и наносят найденные значения на рис. 2, получая график теоретической интегральной функции распределения F(t).

7. Проверку соответствия между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки клиновых ремней до первого отказа можно провести с использованием одного из критериев согласия (см. [1], гл. 3), подтверждающего или опровергающего статистическую гипотезу о виде выбранного теоретического закона распределения с принятым уровнем значимости а. Обычно в технических расчетах принимают а равным 0,10, т. е. допускают тем самым в 10 случаях из 100 возможность ошибки первого рода, связанной с риском отбросить правильную статистическую гипотезу.

Таблица 3

Проверка соответствия эмпирического и теоретического распределений наработки клиновых ремней до первого отказа по критерию image072_8 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта.

Границы частичных интервалов, ч

0...150

150.. 300

300.. 450

450..600

600.. 750

750..900

Верхняя граница интервала, ТВi , ч

150

300

450

600

750

900

image073_7 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

-2.11

-1,05

0

1,05

2,11

3,16

image074_8 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

0,018

0,147

0,500

0,853

0,982

0,999

image075_8 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

0,025

0,125

0,475

0,900

0,975

1,000

image076_7 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

0,007

0,022

0,025

0,047

0,007

0,001

Применительно к рассматриваемому заданию рекомендуется проводить проверку соответствия теоретического и эмпирического распределений по критерию согласия (А. Н. Колмогорова). Для этого по табл. 3 определяют максимальное абсолютное значение разности Dmax между эмпирической и теоретической интегральными функциями распределения для отдельных i-x частичных интервалов, т. е. image077_7 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта-

Как следует из табл. 3, Dmax= 0,047, тогда расчетное значение критерия согласия image078_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=0,047image079_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=0,297. Для image080_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=0,297 по табл. 5 из приложения к [1] находим значение image081_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта = 1,0. Поскольку значение image082_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта больше принятого уровня значимости image083_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=0,10, то принятая гипотеза о применимости закона нормального распределения к эмпирическому распределению наработки клиновых ремней до первого отказа не отвергается. Тем самым можно говорить о соответствии теоретического и эмпирического распределений.

8. Интервальная оценка средней наработки клиновых ремней до первого отказа в отличие от точечной оценки (путем подсчета среднего арифметического значения) позволяет получить результат с наперед заданной достоверностью, или доверительной вероятностью image084_6 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта, которую в практических расчетах принимают равной 0,8 или 0,9. По ГОСТ 11.004—74 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения, нижняя image085_6 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта и верхняя image086_6 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта границы доверительного интервала для средней наработки image087_6 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта определяются по уравнениям:

image088_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

image089_4_3c147c2edad2902a2c372d8e6ce237d5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

где image090_4_297e2c398dfb9323ce4c6760c5a39ebd Определение показателей надежности неремонтируемого объекта – квантиль распределения t (коэффициент Стьюдента) с image091_4_6614191cd35e3ce6e95200595a943ce7 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта степенями свободы для статистической выборки из n значений.

Для image039_28 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=0,9 и image092_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта = 40 квантиль image093_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта=0,206.

Тогда в рассматриваемом нами примере

image094_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта =450-0.206×142,3 = 421,7 ч;

image095_5 Определение показателей надежности неремонтируемого объекта =450 + 0,206×142,3 = 479,3 ч.

Таким образом, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что значение средней наработки клиновых ремней до первого отказа будет находиться в интервале от 421,7 до 479,3 ч.

Определение показателей надежности неремонтируемого объекта - 4.0 out of 5 based on 1 vote