Обвідна лінія множини положень прямої, закріпленої в триграннику френе плоскої кривої

При русі тригранника Френе по вихідній кривій пряма лінія, жорстко закріплена в ньому, утворить однопараметричну множину положень прямої в нерухомій системі координат. Методами диференціальної геометрії знайдено обвідну криву цієї множини. Отримано параметричні рівняння кривої в загальному виді, зроблено візуалізацію одержаних результатів.

Постановка проблеми. Знаходження обвідної кривої однопараметричної сім’ї прямих або кривих ліній є практичною задачею, оскільки така крива описує межу області існування ліній цієї сім’ї. Наприклад, множину можливих траєкторій польоту снаряда у вертикальній площині обмежує обвідна крива, дотична до кожної кривої цієї сім’ї. Побудова обвідних кривих застосовується при проектуванні зубчастих зачеплень, відбивальних поверхонь, профілів, одержаних обкаткою плоских фігур.

Аналіз останніх досліджень. Методи знаходження обвідних кривих відомі із диференціальної геометрії. Їх розгляду присвячено монографію [1]. Множину відбитих променів від циліндричного рефлектора розглянуто в праці [2]. Профілюванню кривої при обкатці трикутника Релло за певним законом присвячено працю [3].

Ціль статті. Знайти аналітичний опис обвідної кривої до множини положень прямої, закріпленої в системі тригранника Френе плоскої кривої.

Основна частина. Закріпимо в триграннику Френе відрізок АВ=ρ, позначивши кут, який він утворює із ортом символом α, причому α=const (рис. 1). Відрізок АВ проходить через вершину тригранника, тому при його русі по плоскій кривій він змінюватиме своє положення в нерухомій системі координат Oxy, весь час перетинаючи криву під постійним кутом α. При α=900 всі відрізки перетинатимуть криву під прямим кутом, тобто будуть нормалями. Очевидно, що обвідною такої множини буде еволюта вихідної напрямної кривої. Положення точки В в системі тригранника запишеться:

. (1)

При русі тригранника по кривій точки А і В залишаючись нерухомими в системі тригранника, мінятимуть своє положення в системі координат Oxy. Щоб записати рівняння прямої, яка проходить через ці точки, потрібно знайти їх координати в нерухомій системі Oxy.

Вихідну плоску криву задамо натуральним рівнянням k=k(s), де кривина k задана у функції довжини власної дуги s. Перехід до параметричних рівнянь здійснюється за відомими формулами [4]:

Рис. 1. Відрізок АВ в системі супровідного тригранника Френе напрямної плоскої кривої

. (2)

За рівняннями (2) можна знайти координати точки А в нерухомій системі координат в залежності від незалежної змінної (довжини дуги) s. Для знаходження координат точки В в нерухомій системі координат скористаємося формулами, отриманими в праці [5]:

(3)

Підставимо (1) в (3) і після перетворень отримаємо (при цьому приймаємо ρ=1, оскільки відрізок АВ є тільки частиною прямої і його довжина не грає ролі у відшуканні обвідної):

(4)

Рівняння прямої, яка проходить через дві точки А і В має вигляд:

. (5)

Підставимо в (5) координати точки А із (2) і координати точки В із (4) і після спрощень отримаємо:

. (6)

Рівняння (6) описує однопараметричну множину прямих, із якої окрема пряма виділяється при заданому конкретному значенні змінної s. Щоб знайти обвідну множини (6), продиференціюємо її по змінній s:

(7)

Розв’язавши (6) і (7) як систему рівнянь відносно x і y, одержимо параметричні рівняння обвідної кривої:

(8)

Розглянемо приклад. За вихідну криву візьмемо евольвенту кола, задану натуральним рівнянням:

, (9)

де а – стала величина.

Підставимо (9) у (8) і отримаємо параметричні рівняння обвідної кривої:

(10)

На рис. 2 побудовані множини прямих, кожна пряма якої сполучає точку на вихідній кривій із відповідною точкою на обвідній. Множини прямих та відповідні обвідні побудовані для від’ємного і додатного значень кута α.

а б

Рис. 2. Множини прямих та їх обвідні, побудовані за рівняннями (10) при а=2:

а) 1- обвідна крива побудована при α=600; 2- при α=-600;

б) 1- обвідна крива побудована при α=450; 2- при α=-450

При зменшенні кута α обвідні криві для від’ємного і додатного його значень наближаються одна до одної і збігаються із вихідною кривою при α=0.

При α=900 обидві обвідні теж збігаються із еволютою кривої – колом (рис. 3,а). При значеннях кута α, близьких до 900 обвідними є спіралі, причому одна із них

а б

Рис. 3. Множини прямих та їх обвідні, побудовані за рівняннями (10) при а=2:

а) обвідна крива побудована при α=900 є еволютою вихідної кривої;

б) обвідні криві побудовані при α=±850

закручується всередині кола (еволюти), наближаючись до асимптотичної точки – центра кола, а друга розкручується зовні кола (рис. 3,б).

Висновки. За допомогою тригранника Френе вихідної кривої і закріпленою нерухомо в ньому прямою, що проходить через його вершину, можна утворювати однопараметричні множини положень прямої. Якщо пряма в триграннику збігається із ортом дотичної, то обвідною кривою множини положень прямої буде сама вихідна крива. Якщо пряма в триграннику збігається із ортом головної нормалі, то обвідною кривою множини положень прямої буде еволюта вихідної кривої. Положення прямої в системі тригранника між ортами дотичної і головної нормалі дадуть обвідні криві, які плавно переходять від вихідної кривої до її еволюти.

Список літератури

1. Залгаллер В. А. Теория огибающих / Залгаллер В. А. –М.: Наука, 1975. – 104 с.

2. Тормосов Ю. М. Метод визначення форми профілю циліндричного рефлектора / Тормосов Ю. М. // Прикладна геометрія та інженерна графіка. –К.: КНУБА, 2003. – Вип. 72. – С. 77 - 82.

3. Найдиш А. В. Формоутворення кривих обкаткою трикутника Релло / Найдиш А. В., Суліма В. В. –Мелітополь: ТДАТА, 1999. –18 с.

4. Милинский В. И. Дифференциальная геометрия / Милинский В. И. - Л.:КУБУЧ, 1934. -332 с.

5. Пилипака С. Ф. Теорія складного руху матеріальної точки на площині. Частина перша. Абсолютні швидкість і траєкторія / Пилипака С. Ф. // Електротехніка і механіка. –К., 2006. -№1. –С. 84 - 94.

С. Ф. Пилипака, доктор технічних наук НУБіП України

Е. Ш. Абибуллаєв аспирант НУБіП України